Chunk 1 泰勒中值定理

（泰勒中值定理1）如果函数\(f(x)\)在\({x_0}\)处具有\(n\)阶导数，那么存在\({x_0}\)的一个领域，对于该领域内的任一\(x\),有 $$ \begin{aligned} f(x)= & f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2!}\left(x-x_0\right)^2+\cdots \\ & +\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}\left(x-x_0\right)^n+R_n(x), \end{aligned} $$ 其中\(R_n(x)=o\left(\left(x-x_0\right)^n\right)\)称为佩亚诺型余项。
（泰勒中值定理2）设函数\(f(x)\)在\({x_0}\)的某个领域内有\(n + 1\)阶导数，则对于该领域内的任一\(x\)，有 $$ \begin{aligned} f(x)= & f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2!}\left(x-x_0\right)^2+\cdots \\ & +\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}\left(x-x_0\right)^n+R_n(x), \end{aligned} $$ 其中 $$ R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\left(x-x_0\right)^{n+1}\left(\xi \text { 介于 } x_0 \text { 与 } x \text { 之间 }\right) $$ 称为拉格朗日型余项。

Chunk 2 麦克劳林公式

当 \(x_0=0\) 时，\(f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n+R_n(x)\) 称为 \(f(x)\) 的麦克劳林公式。
常用的麦克劳林公式：
(1) \(\mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o\left(x^n\right)\)
(2) \(\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{(-1)^n}{(2 n+1)!} x^{2 n+1}+o\left(x^{2 n+1}\right)\)
(3) \(\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{(-1)^n}{(2 n)!} x^{2 n}+o\left(x^{2 n}\right)\)
(4) \(\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+o\left(x^n\right)\)
(5) \(\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^n x^n+o\left(x^n\right)\)
(6) \(-\ln (1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\ldots+\frac{1}{n} x^n+o\left(x^n\right)\)
(7) \(\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n+o\left(x^n\right)\)
(8) \(\tan x=x+\frac{1}{3} x^3+\frac{2}{15} x^5+\frac{17}{315} x^7+0\left(x^7\right)\)
(9) \(\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots+\frac{(-1)^n}{2 n+1} x^{2 n+1}+o\left(x^{2 n+1}\right)\)
(10) \((1+x)^a=\frac{1}{0!}+\frac{a x}{1!}+\frac{a(a-1)}{2!} x^2+\cdots+\frac{a(a-1) \cdots(a-n+1)}{n!} x^n+o\left(x^n\right)\)

Chunk 3 麦克劳林级数

设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的邻域内任意阶可导，则 $$ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n \text {, 其中 } a_n=\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}(n=0,1,2, \cdots) \text {. } $$ 特别地，当 \(x_0=0\) 时，\(f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n\) ，称 \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n\) 为 \(f(x)\) 的麦克劳林级数。记住以下函数的麦克劳林级数：
(1)\({{\rm{e}}^x}=\sum\limits_{n=0}^\infty{\frac{{{x^n}}}{{n!}}}\) \((-\infty<x<+\infty)\)
(2)\(\sin x=\sum\limits_{n=0}^\infty{\frac{{{{(-1)}^n}}}{{(2n+1)!}}}{x^{2n+1}}\) \((-\infty<x<+\infty)\)
(3)\(\cos x=\sum\limits_{n=0}^\infty{\frac{{{{(-1)}^n}}}{{(2n)!}}}{x^{2n}}\) \((-\infty<x<+\infty)\)
(4)\(\frac{1}{{1-x}}=\sum\limits_{n=0}^\infty{{x^n}}\) \(( – 1 < x < 1)\)
(5)\(\frac{1}{{1+x}}=\sum\limits_{n=0}^\infty{{{(-1)}^n}}{x^n}\) \(( – 1 < x < 1)\)
(6)\(-\ln(1-x)=\sum\limits_{n=1}^\infty{\frac{{{x^n}}}{n}}\) \(( – 1 \le x < 1)\)
(7)\(\ln(1+x)=\sum\limits_{n=1}^\infty{\frac{{{{(-1)}^{n-1}}}}{n}}{x^n}\) \(( – 1 < x \le 1)\)
(8)\(\arctan x=\sum\limits_{n=0}^\infty{\frac{{{{(-1)}^n}}}{{2n+1}}}{x^{2n+1}}\) \(( – 1 \le x \le 1)\)
(9)\({\left({\frac{1}{{ax+b}}}\right)^{(n)}}=\frac{{{{(-1)}^n}n!{a^n}}}{{{{(ax+b)}^{n+1}}}}\)

2025年4月28日22时03分