泰勒中值定理、麦克劳林公式、麦克劳林级数

Chunk 1 泰勒中值定理

（泰勒中值定理1）如果函数$f(x)$在$x_0$处具有$n$阶导数，那么存在$x_0$的一个领域，对于该领域内的任一$x$,有 $$\begin{array}{rl}f(x)=& f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }\left(x_0\right)}{2!}{(x-x_0)}^2+\cdots \\ & +\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}{(x-x_0)}^n+R_n(x),\end{array}$$ 其中$R_n(x)=o\left({(x-x_0)}^n\right)$称为佩亚诺型余项。
（泰勒中值定理2）设函数$f(x)$在$x_0$的某个领域内有$n+1$阶导数，则对于该领域内的任一$x$，有 $$\begin{array}{rl}f(x)=& f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }\left(x_0\right)}{2!}{(x-x_0)}^2+\cdots \\ & +\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}{(x-x_0)}^n+R_n(x),\end{array}$$ 其中 $$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{(x-x_0)}^{n+1}\left(\xi \text{ 介于 }{x}_0\text{ 与 }x\text{ 之间 }\right)$$ 称为拉格朗日型余项。

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Chunk 2 麦克劳林公式

当 $x_0=0$ 时，$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+R_n(x)$ 称为 $f(x)$ 的麦克劳林公式。
常用的麦克劳林公式：
(1) ${\mathrm{e}}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+o\left(x^n\right)$
(2) $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}+o\left(x^{2n+1}\right)$
(3) $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}+o\left(x^{2n}\right)$
(4) $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots +x^n+o\left(x^n\right)$
(5) $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots +(-1{)}^n{x}^n+o\left(x^n\right)$
(6) $-\ln (1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\dots +\frac{1}{n}{x}^n+o\left(x^n\right)$
(7) $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{x}^n+o\left(x^n\right)$
(8) $\tan x=x+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5+\frac{17}{315}{x}^7+0\left(x^7\right)$
(9) $\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots +\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}+o\left(x^{2n+1}\right)$
(10) $(1+x{)}^a=\frac{1}{0!}+\frac{ax}{1!}+\frac{a(a-1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{a(a-1)\cdots (a-n+1)}{n!}{x}^n+o\left(x^n\right)$

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Chunk 3 麦克劳林级数

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域内任意阶可导，则 $$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{(x-x_0)}^n\text{, 其中 }{a}_n=\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}(n=0,1,2,\cdots )\text{. }$$ 特别地，当 $x_0=0$ 时，$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$ ，称 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$ 为 $f(x)$ 的麦克劳林级数。记住以下函数的麦克劳林级数：
(1)${\mathrm{e}}^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$ $(-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty })$
(2)$\sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}$ $(-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty })$
(3)$\cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}$ $(-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty })$
(4)$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n$ $(–1<x<1)$
(5)$\frac{1}{1+x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^n{x}^n$ $(–1<x<1)$
(6)$-\ln (1-x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n}$ $(–1\le x<1)$
(7)$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}{x}^n$ $(–1<x\le 1)$
(8)$\arctan x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}$ $(–1\le x\le 1)$
(9)${\left(\frac{1}{ax+b}\right)}^{(n)}=\frac{{(-1)}^{n}n!a^n}{{(ax+b)}^{n+1}}$

2025年4月28日22时03分